Геометрия

Мы объясним, что такое геометрия, ее историю и объект изучения. Кроме того, характеристики каждого типа геометрии
Геометрия является основой многих дисциплин и дополняет многие другие

Что такое геометрия?

Геометрия (от греч. geo – земля и metria – измерение) – одна из древнейших отраслей математики, посвященная изучению формы отдельных объектов, пространственных отношений между ними и свойств окружающего их пространства

Хотя на заре своего существования эта дисциплина, как следует из ее названия, была связана с измерением в его самом практическом смысле, со временем человечество осознало, что даже самые сложные абстракции и представления могут быть выражены в геометрических терминах

Так возникло множество ее ответвлений, рука об руку с математическим анализом и другими формами исчисления, особенно теми, которые связывают геометрическое представление с числовыми и алгебраическими математическими выражениями

Геометрия является фундаментальной отраслью математики , на которой основаны многие дисциплины (такие как техническое черчение или архитектура ) и которая дополняет многие другие (такие как физика , механика, астрономия и т.д.). Она также породила множество артефактов, от компаса и пантографа до системы глобального позиционирования (GPS)

Вам может быть полезно: Декартова плоскость

История геометрии

Геометрия берет свое начало практически в самых ранних человеческих цивилизациях. Древние вавилоняне были изобретателями колеса и, следовательно, геометрии окружностей. Поэтому они, вероятно, первыми осознали безграничный потенциал геометрического исследования, который они вскоре применили в астрономии

Так же поступали и древние египтяне, которые овладели ею в достаточной степени, чтобы применять ее в своих величественных архитектурных произведениях, поскольку геометрия и арифметика были тогда исключительно практическими науками

Многочисленные греческие историки, такие как Геродот (ок. 484-c. 425 a.до н.э.), Диодор (ок. 90 a.C.– c. 30 a.до н.э.) и Страбон (ок. 63 a.C.– c. 24 d.C.) признали важность египетского геометрического наследия и считались создателями этой дисциплины. Однако именно древние греки придали геометрии ее формальный аспект , благодаря своей развитой философской модели

Особое значение имел математик и геометр Евклид (ок. 325 – c. 265 a.до н.э.), признанный отец геометрии, который предложил первую геометрическую систему доказательства результатов в своем знаменитом труде ‘Элементы’, написанном около 300 г. до н.э.C.в Александрии. Там впервые указаны различия между плоскостью ( двухмерной ) и пространством (трехмерным)

Другими важными вкладами в геометрию того времени были труды Архимеда (ок. 287 – c. 212 a.до н.э.) и Аполлоний Пергский (ок. 262 – c. 190 a.C.). Однако в последующие века развитие математики переместилось на Восток (в частности, в Индию и мусульманский мир), где геометрия развивалась наряду с алгеброй тригонометрией , связывая их с астрологией и астрономией

Таким образом, интерес к этой дисциплине вернулся на Запад только в эпоху европейского Возрождения , когда к ее изучению добавилось много новых имен, положив начало проективной геометрии и, прежде всего, картезианской геометрии или аналитической геометрии , плоду работы французского философа Рене Декарта (1596-1650), носителя нового метода геометрического исследования, который революционизировал и модернизировал эту область знаний

С этого момента началась современная геометрия, созданная руками таких великих ученых, как немец Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), русский Николай Лобачевский (1792-1856), венгр Янош Боляи (1802-1860) и многих других, которым удалось отойти от классических аксиом Евклида и основать новую область дисциплины: неевклидову геометрию

Объект изучения геометрии

Геометрия действует как в двухмерном, так и в трехмерном пространстве.

Геометрия изучает свойства пространства и, в частности, формы и фигуры которые его населяют, как в двухмерном (плоскость), так и в трехмерном (пространство) виде, такие как точки, линии, плоскости, многоугольники, полиэдры и так далее. Такие объекты понимаются в терминах идеализаций, т.е. мысленных проекций пространства, чтобы перевести (или не перевести) свои выводы в конкретный мир

Виды геометрии

Геометрия имеет множество различных ответвлений, и ее классификация, как правило, зависит от связи, которую она устанавливает с пятью основными постулатами Евклида, только четыре из которых были убедительно продемонстрированы со времен античности. Пятый, с другой стороны, должен был быть изменен, чтобы породить различные семейства геометрий

Таким образом, мы должны проводить различие между:

Абсолютная геометрия , которая управляется первыми четырьмя постулатами Евклида

евклидова геометрия , которая также принимает пятый евклидов постулат в качестве аксиомы, порождая в свою очередь два варианта: геометрию плоскости (двухмерную) и геометрию пространства (трехмерную), согласно классификации древних греков

Классическая геометрия , в которой собраны результаты евклидовой геометрии

Неевклидова геометрия , возникшая в XIX веке, – это геометрия, объединяющая различные геометрические системы, которые отходят от пятого постулата Евклида, принимая при этом первые четыре или некоторые из них. Среди них:

• Эллиптическая или риманова геометрия, которая подчиняется первым четырем постулатам Евклида и представляет собой модель постоянной и положительной кривизны.
• гиперболическая или лобачевская геометрия , которая подчиняется только первым четырем постулатам Евклида и имеет модель постоянной и отрицательной кривизны.
• сферическая геометрия , понимаемая как геометрия двумерной поверхности сферы (а не прямой плоскости), является более простой моделью эллиптической геометрии.
• Конечная геометрия , система которой подчиняется ограниченному числу точек (в отличие от бесконечной геометрии Евклида), и модели которой применимы только в конечной плоскости. Существует два типа конечной геометрии: аффинная и проективная.