Мы объясним, что такое система нумерации, и изучим характеристики каждого типа системы на примерах из разных культур
Каждая система нумерации содержит заданный, конечный набор символов
Что такое система нумерации?
Система нумерации – это набор символов и правил, через которые можно выразить количество объектов в множестве , то есть через которые могут быть представлены все действительные числа. Это означает, что любая система нумерации содержит заданный, конечный набор символов и заданный, конечный набор правил, по которым их можно комбинировать
Системы счисления были одним из главных изобретений человека в древности , и каждая из древних цивилизаций имела свою собственную систему, связанную с ее взглядом на мир, т.е. с ее культурой
В широком смысле системы нумерации можно разделить на три различных типа:
- Непозиционные системы – это системы, в которых каждый символ имеет фиксированное значение, независимо от его положения в разряде (появляется ли он первым, сбоку или после).
- Полупозиционные системы. Это те, в которых значение символа, как правило, фиксировано, но может быть изменено в определенных ситуациях возникновения (хотя это, как правило, скорее исключения). Она понимается как промежуточная система между позиционной и непозиционной.
- Позиционные или взвешенные системы – это системы, в которых значение символа определяется как его собственным выражением, так и местом, которое он занимает в разряде, и может стоить больше или меньше или выражать различные значения в зависимости от того, где он расположен.
Также можно классифицировать системы нумерации в зависимости от разряда, который они используют в качестве основы для вычислений. Так, например, современная западная система счисления является десятичной (ее основание равно 10), в то время как шумерская система счисления была шестидесятеричной (ее основание равно 60)
Непозиционные системы нумерации
Непозиционные системы были просты в освоении, но требовали большого количества символов.
Непозиционные системы нумерации были первыми в истории и имели самые примитивные основы: пальцы на руках, узелки на веревке или другие способы записи для координации числовых множеств. Например, если вы считаете на пальцах одной руки, то впоследствии сможете считать на целых руках
В этих системах цифры имеют собственное значение, независимо от их расположения в строке символов , и для образования новых символов значения символов должны быть сложены вместе (поэтому они также известны как аддитивные системы). Эти системы были простыми, их легко было освоить, но они требовали большого количества символов для выражения больших количеств, поэтому были не совсем эффективными
Примерами таких систем являются следующие:
- Египетская система нумерации. Возникнув около III тысячелетия до н.э., он был основан на десятке (10) и использовал 2YY7. До нашей эры, он был основан на десяти (10) и использовал различные иероглифы для каждого порядка единиц: один для единицы, один для десятка, один для сотни и так далее до миллиона.
- Система нумерации ацтеков. В империи мексиканцев за основу была взята двадцатка (20), а в качестве символов использовались конкретные предметы: флаг был эквивалентен 20 единицам, перо или волос – 400, сумка или мешок – 8000 и т. д.
- Греческая система нумерации. В частности, ионическая система была изобретена и распространена в восточном Средиземноморье начиная с IV века до н.э. и далее.до н.э., заменив существовавшую ранее акрофоническую систему. Это была алфавитная система, которая использовала буквы для обозначения чисел, сопоставляя букву с ее кардинальным местом в алфавите (A=1, B=2). Таким образом, каждой цифре от 1 до 9 присваивалась буква, каждой десятке – определенная буква, каждой сотне – буква, пока не было использовано 27 букв: 24 буквы греческого алфавита и три специальных символа.
Полупозиционные системы нумерации
Полупозиционные системы отвечали потребностям более развитой экономики.
Полупозиционные системы нумерации сочетают в себе понятие фиксированного значения каждого символа с определенными правилами позиционирования , поэтому их можно понимать как гибридную или смешанную систему между позиционной и непозиционной. Они обладают возможностями для представления больших чисел, обработки порядка чисел и формальных процедур, таких как умножение, поэтому они представляют собой шаг вперед по сложности по сравнению с непозиционными системами
В значительной степени появление полупозиционных систем можно понимать как переход к более эффективной модели нумерации , которая могла бы удовлетворить более сложные потребности более развитой экономики, например, великих империй классической древности
Примерами этой модели нумерации являются:
- Римская система нумерации. Созданный в римской античности, он сохранился до наших дней. В этой системе числа строились с использованием определенных заглавных букв латинского алфавита (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 и т.д.), значение которых было фиксированным и действовало на основе сложения и вычитания в зависимости от места появления символа. Если символ находился слева от символа равного или меньшего значения (как в I I = 2 или X I = 11), то суммарные значения нужно было сложить; если же символ находился слева от символа большего значения (как в I X = 9 или IV = 4), то их нужно было вычесть.
- Классическая китайская система нумерации. Его происхождение датируется примерно 1500 годом до нашей эры.C.и является очень строгой системой вертикального представления чисел с помощью собственных символов, объединяющей две различные системы: одну для разговорного, повседневного письма, а другую для коммерческих или финансовых записей. Это была десятичная система с девятью различными знаками, которые могли быть расположены рядом для сложения их значений, иногда перемежаясь специальным знаком или чередуя расположение знаков для обозначения конкретной операции.
Системы позиционной нумерации
Современная система нумерации происходит от индо-арабской системы.
Системы позиционной нумерации являются наиболее сложными и эффективными из трех существующих типов систем нумерации. Комбинация собственного значения символов и значения, присвоенного их положением, позволяет им строить очень большие числа с очень малым количеством символов, путем сложения и/или умножения значения каждого из них, что делает их наиболее универсальными и современными системами
Как правило, позиционные системы используют фиксированный набор символов и посредством своей комбинаторики производят остальные возможные цифры , до бесконечности, без необходимости создания новых знаков, а путем открытия новых столбцов символов. Конечно, это подразумевает, что ошибка в цепочке также изменяет общее значение цифры
Первые примеры таких систем возникли в великих империях или наиболее требовательных в культурном и коммерческом отношении древних культурах, таких как Вавилонская империя II тысячелетия до нашей эры.C. Вот примеры такого типа системы нумерации:
- Современная десятичная система. Имея только цифры от 0 до 9, он позволяет построить любую возможную цифру, добавляя столбцы, значение которых прибавляется по мере продвижения вправо, с десяткой (10) в качестве основания. Таким образом, добавляя символы к 1, мы можем построить 10, 195, 1958 или 19589. Важно уточнить, что символы, которые он использует, происходят из индо-арабской нумерации.
- Индо-арабская система счисления. Изобретенная древними мудрецами Индии, а затем унаследованная арабами-мусульманами, она пришла на Запад через Аль-Андалус и в конечном итоге заменила традиционные римские цифры. В этой системе, похожей на современную десятичную систему, единицы от 0 до 9 представлены с помощью определенных глифов, которые представляют значение каждой единицы с помощью линий и углов. Система работы этой системы в основном такая же, как и современная западная десятичная система.
- Система счисления майя. Он был создан для измерения времени, а не для математических операций, его основание – вигезималь (20), а символы соответствуют календарю этой доколумбовой цивилизации. Цифры, сгруппированные по 20, представлены основными знаками (тире, точками и ракушками); для перехода к следующей двадцатке добавляется точка на следующем уровне письма. Кроме того, майя одними из первых стали использовать цифру ноль.
Добавить комментарий